Authors:	Gadau, Stephan
Title:	Finite-element discretization of 3D energy-transport equations for semiconductors
Online publication date:	5-Feb-2008
Year of first publication:	2008
Language:	english
Abstract:	In this thesis a mathematical model was derived that describes the charge and energy transport in semiconductor devices like transistors. Moreover, numerical simulations of these physical processes are performed. In order to accomplish this, methods of theoretical physics, functional analysis, numerical mathematics and computer programming are applied. After an introduction to the status quo of semiconductor device simulation methods and a brief review of historical facts up to now, the attention is shifted to the construction of a model, which serves as the basis of the subsequent derivations in the thesis. Thereby the starting point is an important equation of the theory of dilute gases. From this equation the model equations are derived and specified by means of a series expansion method. This is done in a multi-stage derivation process, which is mainly taken from a scientific paper and which does not constitute the focus of this thesis. In the following phase we specify the mathematical setting and make precise the model assumptions. Thereby we make use of methods of functional analysis. Since the equations we deal with are coupled, we are concerned with a nonstandard problem. In contrary, the theory of scalar elliptic equations is established meanwhile. Subsequently, we are preoccupied with the numerical discretization of the equations. A special finite-element method is used for the discretization. This special approach has to be done in order to make the numerical results appropriate for practical application. By a series of transformations from the discrete model we derive a system of algebraic equations that are eligible for numerical evaluation. Using self-made computer programs we solve the equations to get approximate solutions. These programs are based on new and specialized iteration procedures that are developed and thoroughly tested within the frame of this research work. Due to their importance and their novel status, they are explained and demonstrated in detail. We compare these new iterations with a standard method that is complemented by a feature to fit in the current context. A further innovation is the computation of solutions in three-dimensional domains, which are still rare. Special attention is paid to applicability of the 3D simulation tools. The programs are designed to have justifiable working complexity. The simulation results of some models of contemporary semiconductor devices are shown and detailed comments on the results are given. Eventually, we make a prospect on future development and enhancements of the models and of the algorithms that we used. In der vorliegenden Dissertation wird die Herleitung eines mathematischen Modells zur Beschreibung des Ladungs- und Energietransports in Halbleiterbauelementen wie Transistoren sowie die numerische Simulation dieser Prozesse thematisiert. Dabei kommen Methoden der theoretischen Physik, der Funktionalanalysis, der numerischen Mathematik und der Computerprogrammierung zum Einsatz. Nach einer einleitenden Passage zum aktuellen Stand der Halbleitersimulationsverfahren und einem kurzen Überblick über die historische Entwicklung der mathematischen Modelle bis in die Gegenwart wird auf die Konstruktion eines Modells eingegangen, das die Grundlage aller nachfolgenden Arbeitsschritte dieser Dissertation bildet. Als Ausgangspunkt dient dabei eine fundamentale Gleichung aus der Gasdynamik. Mit Hilfe einer Reihenentwicklung wird daraus in einem mehrstufigen Prozeß das Modell spezifiziert. Diese Herleitung ist größtenteils einer Publikation entnommen und bildet nicht den Kern der Arbeit. In der sich anschließenden Phase wird die mathematisch präzise Formulierung des Modells vorgenommen. Dabei sind u.a. funktionalanalytische Techniken nötig. Der Systemcharakter der Gleichungen stellt einen innovativen Aspekt gegenüber skalaren elliptischen Gleichungen dar, deren Theorie mittlerweile als Standard angesehen werden kann. Im Anschluß daran ist die numerische Diskretisierung der Gleichungen Gegenstand der Betrachtungen. Eine Finite-Elemente-Methode, die speziell auf den Gleichungstyp zugeschnittenen ist, findet hierbei Verwendung. Diese Spezialisierung des Typs der Ansatzfunktionen ist notwendig, um der in der Praxis auftretenden Forderung nach physikalischer Interpretierbarkeit der Resultate Rechnung zu tragen. Mit einer Reihe von mathematischen Transformationen der so gewonnenen diskreten Gleichungen wird ein System von algebraischen Gleichungen hergeleitet, das sich zur numerischen Auswertung eignet. Vom Autor dieser Arbeit selbst entwickelte Computerprogramme kommen dabei zur numerischen Lösung der Gleichungen zum Einsatz. Diese Programme basieren teilweise auf neuen, angepaßten Iterationsalgorithmen, die im Rahmen dieser Forschungsarbeit entwickelt und getestet wurden. Ihnen ist aufgrund ihrer Bedeutung und ihrer Neuartigkeit großer Raum in der Arbeit gewidmet. Umfangreiche Analysen der Iterationsschemata und der Vergleich mit einem Standarditerationsverfahren, das mit Hilfe einer Ergänzung dem Problemkontext angepaßt wurde, sind hier als Hauptarbeitsschritte zu nennen. Eine weitere Neuerung besteht in der numerischen Bestimmung von 3D-Resultaten unter Berücksichtigung der vorhandenen Rechnerkapazitäten. Es wurde darauf geachtet, dass die Ergebnisse bei vertretbarem Zeit- und Speicheraufwand berechnet werden können. Die Simulationsergebnisse einer Reihe von Modellen moderner Halbleiterbauelemente werden graphisch dargestellt und ausführlich kommentiert. Den Abschluß der Arbeit bildet ein Ausblick auf Entwicklungsmöglichkeiten und Erweiterungen der vorhandenen Modelle und der Algorithmen.
DDC:	510 Mathematik 510 Mathematics
Institution:	Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Department:	FB 08 Physik, Mathematik u. Informatik
Place:	Mainz
ROR:	https://ror.org/023b0x485
DOI:	http://doi.org/10.25358/openscience-4012
URN:	urn:nbn:de:hebis:77-15488
Version:	Original work
Publication type:	Dissertation
License:	In Copyright
Information on rights of use:	https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
Appears in collections:	JGU-Publikationen